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%第十周习题

% 7.4. 特征值与特征向量
% 7.5. 对角矩阵

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%摘要 Week K Teaching Goal 
\newcommand{\KABSA}{特征值与特征向量}
\newcommand{\KABSAa}{理解线性变换的特征值与特征向量的概念。}
\newcommand{\KABSAb}{计算矩阵的特征值与特征向量。}
\newcommand{\KABSAc}{计算线性变换的特征值与特征向量。}
\newcommand{\KABSAd}{举例验证哈密顿-凯莱定理。}
\newcommand{\KABSAe}{案例分析：矩阵及其特征值在图论中的应用。}

\newcommand{\KABSB}{对角矩阵}
\newcommand{\KABSBa}{证明线性变换关于适当的基的矩阵是对角阵的充分必要条件。}
\newcommand{\KABSBb}{证明线性变换关于适当的基的矩阵是对角阵的充分条件。}
\newcommand{\KABSBc}{证明属于不同特征值的特征向量是线性无关的。}
\newcommand{\KABSBd}{判断矩阵是否能够相似于对角阵。}

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%\item % 1
\newcommand{\KTA}{
（定义4）设 $\mathcal{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换。$\mathcal{A}$ 的特征值与特征向量分别指的是什么？
}

%\item % 1a.  
\newcommand{\KTAsol}{
{\color{red}解答：设有数 $\lambda$ 与向量 $\xi$ 使得 $\mathcal{A}\xi = \lambda \xi$, 则称 $\lambda$ 是特征值，$\xi$ 是属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

}
}

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%\item % 2
\newcommand{\KTB}{
如何把计算线性变换的特征值与特征向量，转化为计算矩阵的特征值与特征向量？
}

%\item % 2a.  
\newcommand{\KTBsol}{
{\color{red}解答：  在一组基下，将线性变换写成矩阵。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 3
\newcommand{\KTC}{
 （例1）求数乘变换的特征值与特征向量。
}

%\item % 3a.  
\newcommand{\KTCsol}{
{\color{red}解答： 根据数乘变换的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 4
\newcommand{\KTD}{
（例2）设线性变换 $\mathcal{A}$ 在一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵如下，求这个线性变换的特征值与特征向量。
\[
A=\begin{pmatrix} 1&2&2 \\ 2&1&2 \\ 2&2&1 \end{pmatrix}. 
\]

}

%\item % 4a.  
\newcommand{\KTDsol}{
{\color{red}解答：  根据特征值与特征向量的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 5
\newcommand{\KTE}{
（例3）设 $V$ 是次数小于 $n$ 的多项式全体组成的线性空间。求微分运算对应的线性变换的特征值与特征向量。
}

%\item % 5a.  
\newcommand{\KTEsol}{
{\color{red}解答：  根据特征值与特征向量的定义。
}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 6
\newcommand{\KTF}{
（例4）求平面绕原点旋转固定角度对应的线性变换的特征值与特征向量。
}

%\item % 6a.  
\newcommand{\KTFsol}{
{\color{red}解答：根据特征值与特征向量的定义。  
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 7
\newcommand{\KTG}{
（定理6）证明相似的矩阵有相同的特征多项式。
}

%\item % 7a.  
\newcommand{\KTGsol}{
{\color{red}解答：相似矩阵的定义。特征多项式的定义。
}
}


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%\item % 8
\newcommand{\KTH}{
举例验证哈密顿-凯莱定理：设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)$, 则有 $f(A)$ 为零矩阵。
}

%\item % 8a.  
\newcommand{\KTHsol}{
{\color{red}解答：举出一个二阶矩阵的例子。   
}
}

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%\item % 9
\newcommand{\KTI}{
%Ex.19. 
求复数域上线性空间 \( V \) 的线性变换 \(\mathcal{A}\) 的特征值与特征向量，已知 \(\mathcal{A}\) 在一组基下的矩阵如下。

1) \( A = \begin{pmatrix}
3 & 4 \\
5 & 2
\end{pmatrix} \);
\hspace{0.2cm} 
2) \( A = \begin{pmatrix}
0 & a \\
-a & 0
\end{pmatrix} \);
\hspace{0.2cm} %\\ 
3) \( A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix} \);
\hspace{0.2cm} 
4) \( A = \begin{pmatrix}
5 & 6 & -3 \\
-1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & -1
\end{pmatrix} \).


%5) \( A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)；
%
%6) \( A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ -1 & -3 & 0 \end{pmatrix} \)；
%
%7) \( A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 0 \\ 4 & -8 & -2 \end{pmatrix} \)；

}

%\item % 9a.  
\newcommand{\KTIsol}{
{\color{red}解答：先计算特征多项式。  
}
}




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%\item % 10
\newcommand{\KTJ}{
%Ex. 24. 
1) 设 \( \lambda_1, \lambda_2 \) 是线性变换 \( \mathcal{A} \) 的两个不同特征值，\( \varepsilon_1, \varepsilon_2 \) 是分别属于 \( \lambda_1, \lambda_2 \) 的特征向量，证明：\( \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \) 不是 \( \mathcal{A} \) 的特征向量；

2) 证明：如果线性空间 \( V \) 的线性变换 \( \mathcal{A} \) 以 \( V \) 中每个非零向量作为它的特征向量，那么 \( \mathcal{A} \) 是数乘变换。
}

%\item % 10a.  
\newcommand{\KTJsol}{
{\color{red}解答：  根据特征值与特征向量的定义。
}
}


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%\item % 11
\newcommand{\KTK}{
 （定理7）设 $\mathcal{A}$ 是$n$维线性空间 $V$上的一个线性变换。则下述两个条件等价：
	\begin{enumerate}
	\item  存在一组基，使得 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵是对角阵。
	\item  线性变换$\mathcal{A}$有$n$个线性无关的特征向量。
	\end{enumerate}
}

%\item % 11a.  
\newcommand{\KTKsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在这组基下的矩阵的定义。特征向量的定义。基的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 12
\newcommand{\KTL}{
（定理8）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

}

%\item % 12a.  
\newcommand{\KTLsol}{
{\color{red}解答：  向量组线性无关的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 13
\newcommand{\KTM}{
 （推论1）设 $\mathcal{A}$ 是$n$维线性空间 $V$ 的一个线性变换。如果$\mathcal{A}$的特征多项式有$n$个不同的根，则存在一组基，使得这个线性变换在这组基下的矩阵是对角阵。

}

%\item % 13a.  
\newcommand{\KTMsol}{
{\color{red}解答：  基的定义。特征多项式、特征值、特征向量的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 14
\newcommand{\KTN}{
 （推论2）设 $V$是复数域上的$n$维线性空间，设$\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换。
如果$\mathcal{A}$ 的特征多项式没有重根，那么存在一组基，使得$\mathcal{A}$在这组基下的矩阵是对角阵。

}

%\item % 14a.  
\newcommand{\KTNsol}{
{\color{red}解答：  基的定义。特征多项式、特征值、特征向量的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 15
\newcommand{\KTO}{
（定理9）设$\lambda_1,\cdots,\lambda_k$是线性变换$\mathcal{A}$的不同的特征值，
设$\alpha_{i1},\cdots,\alpha_{ir_i}$ 是属于特征值$\lambda_i$的线性无关的特征向量，
则向量组 $\alpha_{11},\cdots,\alpha_{1r_1},\cdots,\alpha_{k1},\cdots,\alpha_{kr_k}$ 也线性无关。

}

%\item % 15a.  
\newcommand{\KTOsol}{
{\color{red}解答：  向量组线性无关的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 16
\newcommand{\KTP}{
（例1）设线性变换 $\mathcal{A}$ 在一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵是 
$
A=\begin{pmatrix} 1&2&2 \\ 2&1&2 \\ 2&2&1 \end{pmatrix}.
$
已知这个线性变换的特征值是$\lambda_{1,2}=-1,\lambda_3=5$, 相应的特征向量是
$\xi_1=\varepsilon_1-\varepsilon_3$, 
$\xi_2=\varepsilon_2-\varepsilon_3$, 
$\xi_3=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$. 
验证向量组 $\xi_1,\xi_2,\xi_3$也是一组基，并求线性变换 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵。
 
}

%\item % 16a.  
\newcommand{\KTPsol}{
{\color{red}解答： 基的定义。线性变换在一组基下的矩阵的定义。
}
}

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%\item % 17
\newcommand{\KTQ}{
（例2）计算下述斐波那契数列的通项，
\begin{eqnarray*}
&& h_0=h_1=1,\\ 
&& h_n=h_{n-1}+h_{n-2},\quad n\ge 2. 
\end{eqnarray*}
}

%\item % 17a.  
\newcommand{\KTQsol}{
{\color{red}解答：  相似于对角矩阵。
}
}

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%\item % 18
\newcommand{\KTR}{
%Ex.16. 
证明下述两个矩阵相似，其中 \( i_1, i_2, \cdots, i_n \) 是 \( 1, 2, \cdots, n \) 的一个排列。
\[
A=\begin{pmatrix}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{pmatrix},
\,\,\,\,
B=\begin{pmatrix}
\lambda_{i_1} & & & \\
& \lambda_{i_2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_{i_n}
\end{pmatrix}. 
\]


}

%\item % 18a.  
\newcommand{\KTRsol}{
{\color{red}解答：  相似矩阵的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 19
\newcommand{\KTS}{
%Ex. 17. 
如果 \( A \) 可逆，证明：\( AB \) 与 \( BA \) 相似。

}

%\item % 19a.  
\newcommand{\KTSsol}{
{\color{red}解答：  相似矩阵的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 20
\newcommand{\KTT}{
%Ex. 18. 
如果 \( A \) 与 \( B \) 相似，\( C \) 与 \( D \) 相似，证明：
\[
\begin{pmatrix}
A & O \\
O & C
\end{pmatrix}
\,\,\textrm{与}\,\,
\begin{pmatrix}
B & O \\
O & D
\end{pmatrix}
\]
相似。

}

%\item % 20a.  
\newcommand{\KTTsol}{
{\color{red}解答：  相似矩阵的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 21
\newcommand{\KTU}{
%Ex. 20. 

复数域上线性空间 \( V \) 的线性变换 \(\mathcal{A}\) 在一组基下的矩阵如下：

\(
5) \quad A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}; \quad 
6) \quad A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ -1 & -3 & 0 \end{pmatrix}; \quad 
7) \quad A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 0 \\ 4 & -8 & -2 \end{pmatrix}. 
\)
\begin{enumerate}
\item  哪些变换的矩阵可以在适当的基下化成对角形？
\item  在可以化成对角形的情况下，写出相应的基变换的过渡矩阵 \( T \)，并验算 \( T^{-1}AT \). 
\end{enumerate}
}

%\item % 21a.  
\newcommand{\KTUsol}{
{\color{red}解答： 求线性无关的特征向量。 
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 22
\newcommand{\KTV}{
%Ex. 21. 
设 $n\ge 2$. 在次数小于 $n$ 的多项式全体组成的线性空间 \( \mathbb{R}[x]_n \) 中，求微分变换 \(\mathcal{D}\) 的特征多项式，并证明 \(\mathcal{D}\) 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵。
}

%\item % 22a.  
\newcommand{\KTVsol}{
{\color{red}解答： 对角化的充分必要条件。
}
}


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%\item % 23
\newcommand{\KTW}{
%Ex. 22. 
设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}$, 求 \( A^k \). 

}

%\item % 23a.  
\newcommand{\KTWsol}{
{\color{red}解答：相似于对角矩阵。  
}
}

